装满水的玻璃杯产生的焦散现象
光学中，焦散现象（caustic[1]）是被弯曲的面或物体反射或折射后，出现光线的包络，或包络在另一面上的射影。[2]焦散现象会形成焦散线或焦散面，每条光线都与之相切。[2]如右图所示，可见明显的焦散线。这些形状通常有尖点。
茶杯底部的肾形焦散线
水面造成的焦散线
浅水中的焦散线
解释[编辑]
射线经过非平面折射后，在许多光线交叉的地方会形成焦散线。
集中的光线（如阳光）会灼伤人。“焦散”（caustic）一词来自希腊语καυστός“烧焦”，途经拉丁语causticus“燃烧”。
光线照射在酒杯上时，就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影，也会产生弯曲的亮区。在理想情况下（包括平行光射入时）会产生肾形光斑。[3][4]光线穿过波浪照射在水体上时，通常会形成波纹状的焦散线。
彩虹是人们熟悉的另一种焦散现象。[5][6]雨滴对光的散射会使不同波长的光折射成半径不同的弧线，从而产生彩虹。
计算机制图[编辑]
计算机图形学中，大多数现代渲染系统都支持焦散效果，其中有些甚至还支持立体焦散。这是通过光线追踪光束的可能路径，并考虑折射与反射实现的；光子映射是其中一种实现方式。立体焦散也可以由体积路径跟踪实现。一些计算机图形系统采用“正向光追”技术，将光子模拟为来自光源，按照规则在环境中反弹。在有足够光子照射到表面的区域，就会形成焦散，使其比平均区域更亮。“反向光追”则是以相反方式工作，从表面开始，确定是否有通向光源的路径。[7]这里 （页面存档备份，存于互联网档案馆）可见一些三维光追焦散的例子。
大多数计算机图形系统的重点在美学而非物理上精确，这在电脑游戏的实时渲染中尤为明显[8]，游戏中大多使用预先算好的材质。
焦散工程[编辑]
焦散工程描述的是解决计算机图形学中逆问题的过程。即，在给定图像的前提下，确定折射或反射光形成图像的表面。
在这问题的离散版本中，表面会被分为若干微表面，假定是光滑的，即每片微表面反射/折射的光线形成高斯焦散。这意味着，每个微表面都服从高斯分布。每块微表面的位置与方向由泊松积分与模拟退火相结合的方法得到。[9]
解决连续问题的方法多种多样，如利用运输理论中所谓最优运输（optimal transport）的思想[10]寻找入射光与目标表面之间的映射。获得这种映射后，利用斯涅尔定律反复调整，从而优化表面。[11][12]
基于最优运输的焦散图案设计[编辑]
基本原理[编辑]
控制焦散图案是相当具有挑战性的问题，因为表面的微小变化会严重影响图案质量：光线方向在与材料反射/折射时可能会受到其他光线的干扰。这将导致图案离散、不连续。为了解决这个问题，基于最优运输的方法是现有的建议方法之一，它可以在光线穿过某种透明材料表面传播时改变光线方向，从而控制焦散图案。[13][14]给定物体/图案的参考图像，目标是描述光线折射通过的材料表面，并汇聚到参考图像的类似图案。具体方法是重新排列/重新计算初始光强，直到得到优化问题的最小值。
设计管线[编辑]
这里进考虑折射焦散，对象可按如下方式确定（不同输出的反射焦散也有类似原理）：
输入: 给定光源位置，灯光通过材料传播后获得的图案图像。
输出: 接收面（平坦的固体表面，例如：地板、墙壁等）上的焦散图形。
为实现目标图案，须将光线射向外部环境的表面加工成一定形状，以便在另一面实现所需的图案。
如上述，在输入图像的情况下，该过程将产生类似的焦散图案作为输出。原则上，有两个核心阶段，又分成两个子阶段：
基于最优运输的焦散设计解最优运输问题
计算目标光分布
计算从初始分布到目标分布的映射
优化目标表面
计算表面的法线表示
表面细化
解最优运输问题[编辑]
在透明表面发生折射的情况下，例如在清澈水面下出现的图案，可以观察到3种主要现象：
非常亮（凝聚光强）的点（所谓奇点）
连接各点的曲线状对象
光强度较低的区域
未进行计算，我们引入以下3个量来描述图案的几何特征：点奇异性
Φ
p
{\displaystyle \Phi _{p}}
（度量某些高度集中的点的光强）、线奇异性
Φ
c
{\displaystyle \Phi _{c}}
（度量某些较亮曲线附近的光强）、辐照度
Φ
I
{\displaystyle \Phi _{I}}
（测量某个光照不集中区域的强度）。把它们放在一起，下面的函数就定义了目标表面上某一部分Ω的总辐射功率
Φ
T
{\displaystyle \Phi _{T}}
：
Φ
T
(
Ω
)
=
∑
i
=
1
N
δ
Φ
p
i
(
Ω
)
+
∑
j
=
1
N
γ
Φ
c
j
(
Ω
)
+
Φ
I
(
Ω
)
{\displaystyle \Phi _{T}(\Omega )=\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\delta }}\Phi _{p}^{i}(\Omega )+\sum _{j=1}^{N_{\gamma }}\Phi _{c}^{j}(\Omega )+\Phi _{I}(\Omega )\displaystyle }
这步之后，就有了两个辐射通量测量值，分别是辐射源
Φ
S
{\displaystyle \Phi _{S}}
（由初始化均匀分布）与目标
Φ
T
{\displaystyle \Phi _{T}}
（上一步计算）。剩下要计算的是从源到目标的映射。为此要先定义几个量，首先是两个由概率取值的光强：
μ
S
{\displaystyle \mu _{S}}
（用
Φ
S
{\displaystyle \Phi _{S}}
除以
Φ
S
,
Φ
T
{\displaystyle \Phi _{S},\ \Phi _{T}}
之间联合区域的通量）、
μ
T
{\displaystyle \mu _{T}}
（用
Φ
T
{\displaystyle \Phi _{T}}
除以
Φ
S
,
Φ
T
{\displaystyle \Phi _{S},\ \Phi _{T}}
之间联合区域的通量）。其次，由多个点
s
i
∈
(
Φ
S
∪
Φ
T
)
{\displaystyle s_{i}\in (\Phi _{S}\cup \Phi _{T})}
生成原网格，之后再变形。接着，在这组点
s
i
{\displaystyle s_{i}}
上定义power图
P
w
{\displaystyle P_{w}}
（一组power元
C
i
w
{\displaystyle C_{i}^{w}}
），由权向量
ω
{\displaystyle \omega }
加权。最后，我们的目标是决定要移动哪些power元。考虑面上所有
x
{\displaystyle x}
个顶点，找到以下凸函数的最小值
ω
m
i
n
{\displaystyle \omega _{min}}
，就可得到目标的匹配power图：
f
(
ω
)
=
∑
s
i
∈
S
(
ω
i
.
μ
S
(
C
i
0
)
−
∫
C
i
ω
(
‖
x
−
s
i
‖
2
−
ω
i
)
d
μ
T
(
x
)
)
{\displaystyle f(\omega )=\sum _{s_{i}\in S}(\omega _{i}.\mu _{S}(C_{i}^{0})-\int \limits _{C_{i}^{\omega }}(\|x-s_{i}\|^{2}-\omega _{i})d\mu _{T}(x))}
优化目标面[编辑]
计算过程
在解出最优运输问题后，就得到了顶点。不过，这并没有提供最终表面形状的信息。给定入射光
d
I
{\displaystyle d_{I}}
、出射光
d
O
{\displaystyle d_{O}}
及上一步所得的power图，根据斯涅尔定律可算出曲面法线：
n
=
d
I
+
η
x
‖
d
I
+
η
d
T
‖
=
d
I
+
η
x
‖
d
I
+
η
(
x
R
−
x
)
|
|
x
R
−
x
|
|
‖
{\displaystyle n=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta d_{T}\rVert }=d_{I}+{\eta x \over \lVert d_{I}+\eta {(x_{R}-x) \over ||x_{R}-x||}\rVert }}
其中
η
{\displaystyle \eta }
：折射系数
x
R
{\displaystyle x_{R}}
：解上述最优运输问题所得目标位置
得到法线表示后，通过最小化以下复合能量函数，实现表面细化：
a
r
g
m
a
x
x
ω
⋅
[
E
i
n
t
,
E
d
i
r
,
E
f
l
u
x
,
E
r
e
g
,
E
b
a
r
]
{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\omega \,\cdot [E_{int},\,E_{dir},\,E_{flux},\,E_{reg},\,E_{bar}]}
其中
E
i
n
t
=
∑
v
∈
M
T
‖
n
o
−
n
‖
2
2
{\displaystyle E_{int}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert n_{o}-n\rVert _{2}^{2}}
是将最优运输所得顶点法线
n
o
{\displaystyle n_{o}}
与斯涅尔定律计算所得目标法线
n
{\displaystyle n}
对齐，所得的积分能量。
E
d
i
r
=
∑
v
∈
M
T
‖
x
−
proj
(
x
S
,
d
I
)
(
x
)
‖
2
2
{\displaystyle E_{dir}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert x-{\textbf {proj}}_{(x_{S},\,d_{I})}(x)\rVert _{2}^{2}}
：最优传输所得网格无法适应不连续面的尖点，这一项用于惩罚这种点，使其不会随入射光发生显著变化。
E
f
l
u
x
=
∑
t
∈
M
T
‖
Φ
T
(
t
)
−
Φ
S
(
t
s
)
‖
2
2
{\displaystyle E_{flux}=\sum _{t\in M_{T}}\lVert \Phi _{T}(t)-\Phi _{S}(t_{s})\rVert _{2}^{2}}
是经过网格中三角形
t
{\displaystyle t}
的能量通量。
E
r
e
g
=
‖
L
X
‖
2
2
{\displaystyle E_{reg}=\lVert {\textbf {L}}{\textbf {X}}\rVert _{2}^{2}}
是使三角形形状规则化、保持形状良好的能量。
E
b
a
r
=
∑
v
∈
M
T
‖
m
a
x
(
0
,
−
l
o
g
(
(
1
−
n
R
.
(
x
−
x
R
)
)
+
d
T
H
)
‖
2
{\displaystyle E_{bar}=\sum _{v\in M_{T}}\lVert max(0,-log((1-n_{R}.(x-x_{R}))+d_{TH})\rVert ^{2}}
是屏障能量，用于确保曲面变形不会超过一定距离的阈值
d
T
H
{\displaystyle d_{TH}}
。
可变逆渲染焦散图样设计[编辑]
基本原理[编辑]
逆图形学是一种观察图像数据、推断所有可能属性（如三维几何、光照、材料与运动）生成逼真图像的方法。[15]传统计算机图形学中，为使图像具有理想的外观和效果，要赋予图像所有相关属性/特征，这可以说是前向方法；而在焦散设计中，物体（尤其材料表面）的性质并不平凡。给定约束条件就是要获得的目标图像。因此，目标是通过观察、推断目标图像，以获得其性质。这可以视作反向方法。
下面是基本损失函数，解释了如何优化参数：
L
(
c
)
=
‖
f
(
c
)
−
I
‖
2
{\displaystyle L(c)=\lVert f(c)-I\rVert ^{2}}
其中
L
(
c
)
{\displaystyle L(c)}
：损失函数，渲染图像与目标的均方误差
c：包含可能影响生成图像的元素
I：目标图像
管线设计[编辑]
可变逆渲染焦散设计
首先，设计目标图案并计算前向传递，得到合成图样。然后与目标图案比较，得到损失。
这是让合成图案尽可能与目标图案相似。然后进行反向传播，以获得焦散制造中所需的优化属性。
生成图像的元素[编辑]
外观（Appearance，
A
{\displaystyle A}
）：像素表面外观建模为MipMap纹理与像素亮度之积。
几何（Vertices，
V
{\displaystyle V}
）：假定三维场景由三角形近似，参数为顶点
V
{\displaystyle V}
。
摄像机（Camera，
C
{\displaystyle C}
）：焦距、视点、摄像机中心。
还可以有更多元素，如反照率、折射率之类。
一般可变框架[编辑]
引入U为中间变量，表示2维投影的顶点坐标。这些属性的梯度可从链式法则推导出：
∂
f
∂
V
=
∂
f
∂
U
×
∂
U
∂
V
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial V}}}
∂
f
∂
V
=
∂
f
∂
A
×
∂
A
∂
V
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial V}}={\frac {\partial f}{\partial A}}\times {\frac {\partial A}{\partial V}}}
∂
f
∂
C
=
∂
f
∂
U
×
∂
U
∂
C
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial C}}={\frac {\partial f}{\partial U}}\times {\frac {\partial U}{\partial C}}}
应用随机梯度下降后，可得最优的
A
,
V
,
C
{\displaystyle A,\ V,\ C}
。随后，这些量将用于雕刻或铣削材料，以生成目标图案。
方法[编辑]
一种常见方法是利用各种深度学习自动微分框架/库（如TensorFlow、PyTorch、Theano）中执行微分运算的能力。
还有一种方法是用OpenDR[16]框架建立前向图形模型，并自动获取模型参数的导数，以进行优化。在获得优化属性后，就可以生成目标图像。OpenDR提供的局部优化方法可纳入概率编程框架，可以解决焦散问题。
制造[编辑]
设计与制造过程
计算设计出焦散图样后，处理过的数据将用作机械加工。
根据所需质量、制造所需工作量和可用的制造方法，可以用各种材料。
常见折射材料：亚克力、聚碳酸酯、聚乙烯、玻璃、钻石
常见反射材料：钢、铁、铝、金、银、钛、镍
Architecture
焦散图样设计有很多应用，如
灯具
珠宝
建筑
装饰玻璃生产
另见[编辑]
焦点
模糊圈
焦散 (数学)
参考文献[编辑]
^ Lynch, DK; Livingston, W. The caustic network. Color and Light in Nature. Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-77504-5.
^ 2.0 2.1 Weinstein, Lev Albertovich. Open Resonators and Open Waveguides. Boulder, Colorado: The Golem Press. 1969.
^ Circle Catacaustic （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Wolfram MathWorld. Retrieved 2009-07-17.
^ Levi, Mark. Focusing on Nephroids. SIAM News. 2018-04-02 [2018-06-01]. （原始内容存档于2023-06-27）.
^ Rainbow caustics. [2024-01-09]. （原始内容存档于2013-04-19）.
^ Caustic fringes. [2024-01-09]. （原始内容存档于2012-06-12）.
^ Guardado, Juan. Chapter 2. Rendering Water Caustics. Fernando, Randima (编). GPU Gems: Programming Techniques, Tips and Tricks for Real-Time Graphics. Addison-Wesley. 2004 [2024-01-09]. ISBN 978-0321228321. （原始内容存档于2019-10-30）.
^ Caustics water texturing using Unity 3D. Dual Heights Software. [2017-05-28]. （原始内容存档于2023-10-13）.
^ Marios Papas. Goal Based Caustics (PDF). Computer Graphics Forum (Proc. Eurographics). 2011-04, 30 (2). doi:10.1111/j.1467-8659.2011.01876.x. （原始内容存档 (PDF)于2021-05-11）. (Additional resources at Wojciech Jarosz's Dartmouth University site （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
^ Villani, Cedric. Optimal Transport - Old and New. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. ISBN 978-3-540-71049-3.
^ Philip Ball. Light tamers. New Scientist. 2013-02, 217 (2902): 40–43. Bibcode:2013NewSc.217...40B. doi:10.1016/S0262-4079(13)60310-3.
^ Choreographing light: New algorithm controls light patterns called 'caustics', organizes them into coherent images. [2024-01-09]. （原始内容存档于2023-07-17）.
^ Schwartzburg, Yuliy; Testuz, Romain; Tagliasacchi, Andrea; Pauly, Mark. High-contrast computational caustic design. ACM Transactions on Graphics. 2014-07-27, 33 (4): 1–11 [2024-01-09]. doi:10.1145/2601097.2601200. （原始内容存档于2022-07-07）.
^ Cédric, Villani. Optimal Transport, Old and New. Springer. 2009. ISBN 978-3-540-71050-9.
^ Loper, Matthew M.; Black, Michael J., OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer, Computer Vision – ECCV 2014 (Springer International Publishing), 2014: 154–169, ISBN 978-3-319-10583-3, doi:10.1007/978-3-319-10584-0_11
^ Loper, Matthew M.; Black, Michael J., OpenDR: An Approximate Differentiable Renderer, Computer Vision – ECCV 2014 (Springer International Publishing), 2014: 154–169, ISBN 978-3-319-10583-3, doi:10.1007/978-3-319-10584-0_11
Born, Max; Wolf, Emil. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light 7th. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.
Nye, John. Natural Focusing and Fine Structure of Light: Caustics and Wave Dislocations. CRC Press. 1999. ISBN 978-0-7503-0610-2.
阅读更多[编辑]
Ferraro, Pietro. What a caustic!. The Physics Teacher. 1996, 34 (9): 572–573. Bibcode:1996PhTea..34..572F. doi:10.1119/1.2344572.
Dachsbacher, Carsten; Liktor, Gábor. Real-time volume caustics with adaptive beam tracing. Symposium on Interactive 3D Graphics and Games (ACM). February 2011: 47–54.